Deze lijst van wiskundige symbolen bevat de verklaring van een aantal wiskundige symbolen. Bij elk symbool wordt de naam en de wijze van uitspreken vermeld. Bovendien is een informele definitie en een voorbeeld toegevoegd. De lijst is niet uitputtend.
Infinity. J. Walis (1655).
Voor het eerst aangetroffen in de verhandeling van de Engelse wiskundige John Valis ‘Over kegelsneden’.
De basis van natuurlijke logaritme. L. Euler (1736).
Wiskundige constante, transcendentaal getal. Dit nummer wordt soms nonperov genoemd ter ere van de Schotse wetenschapper Napier, de auteur van “Beschrijving van een verbazingwekkende tabel van logaritmes” (1614). Voor het eerst is de constante in het geheim aanwezig in de bijlage bij de Engelse vertaling van het bovengenoemde werk van Napier, gepubliceerd in 1618. Dezelfde constante eerste berekend door de Zwitserse wiskundige Jacob Bernoulli in de loop van het oplossen van het probleem van de marginale waarde van rentebaten.
2,71828182845904523…
Het eerste bekende gebruik van deze constante, waar het werd aangeduid met de letter b , is te vinden in de brieven van Leibniz aan Huygens, 1690-1691. De letter e begon Euler te gebruiken in 1727 en de eerste publicatie met deze brief was zijn werk ‘Mechanica, of de Wetenschap van Beweging, analytisch beschreven’ in 1736. Daarom wordt e gewoonlijk het Euler-nummer genoemd. Waarom de letter e is gekozen, is niet precies bekend. Misschien komt dit door het feit dat het woord exponentieel (“indicatief”, “exponentieel”) ermee begint. Een andere suggestie is dat de letters a , b , c en d al behoorlijk veel worden gebruikt voor andere doeleinden. en e was de eerste “gratis” brief.
De verhouding van de omtrek tot diameter. W. Jones (1706), L. Euler (1736).
Wiskundige constante, irrationeel getal. Het nummer “pi”, de oude naam – Ludolf-nummer. Zoals elk irrationeel getal, wordt π weergegeven door een oneindige niet-periodieke decimale breuk:
π=3,141592653589793…
Voor de eerste keer werd de aanwijzing van dit nummer door de Griekse letter π door de Britse wiskundige William Jones gebruikt in het boek “New Introduction to Mathematics”, en het werd algemeen aanvaard na het werk van Leonard Euler. Deze benaming is afgeleid van de oorspronkelijke Griekse woorden περιφερεια – omtrek, periferie en περιμετρος – omtrek. Johann Heinrich Lambert bewees de rationaliteit van π in 1761 en Adrien Marie Legendre bewees in 1774 de rationaliteit van π 2 . Legendre en Euler gingen ervan uit dat π transcendent zou kunnen zijn, d.w.z. kan niet voldoen aan een algebraïsche vergelijking met geheel-coëfficiënten, die uiteindelijk werd bewezen in 1882 door Ferdinand von Lindemann.
Denkbeeldige eenheid. L. Euler (1777, in druk – 1794).
Het is bekend dat de vergelijking x 2 = 1 twee wortels heeft: 1 en -1 . De imaginaire eenheid is een van de twee wortels van de vergelijking x 2 = – 1 , aangeduid met de Latijnse letter i , een andere wortel: -i . Deze aanwijzing werd voorgesteld door Leonard Euler, die hiervoor de eerste letter van het Latijnse woord imaginarius (denkbeeldig) aannam. Hij heeft ook alle standaardfuncties uitgebreid naar het complexe domein, d.w.z. een reeks getallen die kan worden weergegeven als a + ib , waarbij a en b reële getallen zijn. De term ‘complex getal’ werd in 1831 veel gebruikt door de Duitse wiskundige Karl Gauss, hoewel deze term eerder in 1803 in dezelfde zin werd gebruikt door de Franse wiskundige Lazar Carnot.
Eenheidsvectoren. W. Hamilton(1853).
Eenheidsvectoren zijn vaak geassocieerd met de coördinaatassen van het coördinatensysteem (in het bijzonder met de assen van het cartesiaanse coördinatenstelsel). De eenheidsvector gericht langs de X -as wordt aangeduid met i , de eenheidsvector gericht langs de Y -as wordt aangeduid met j , en een eenheidsvector gericht langs de Z -as wordt aangegeven met k . Vectoren i , j , k heten ortami, ze hebben afzonderlijke modules. De term “ort” werd geïntroduceerd door de Engelse wiskundige, ingenieur Oliver Heaviside (1892), en de symbolen i , j , k zijn de Ierse wiskundige William Hamilton.
Het hele deel van het nummer, Antje. C. Gauss (1808).
Het gehele deel van het getal [x] van het getal x is het grootste gehele getal dat x niet overschrijdt. Dus [5,3] = 5, [-3,6] = – 4. De functie [x] wordt ook “antje from x” genoemd. Het symbool van de functie “geheel deel” werd in 1808 geïntroduceerd door Karl Gauss. Sommige wiskundigen geven er de voorkeur aan in plaats daarvan de aanduiding E (x) te gebruiken, die in 1798 door Legendre is voorgesteld.
Hoek van evenwijdigheid N.I. Lobachevsky (1835).
Op het Lobachevsky-vlak loopt de hoek tussen de lijn b door het punt O parallel met de lijn a , die niet het punt O bevat, en loodrecht van O tot a . α is de lengte van deze loodlijn. Naarmate het punt O van de lijn a af beweegt, neemt de parallelle hoek af van 90 ° naar 0 °. Lobachevsky gaf de formule voor de hoek van het parallellisme P (α) = 2 arctg e -α / q , waarbij q een constante is gerelateerd aan de kromming van de Lobachevsky-ruimte .
Onbekende of variabele waarden. R. Descartes (1637).
In de wiskunde is een variabele een hoeveelheid die wordt gekenmerkt door een reeks waarden die deze kan aannemen. In dit geval kan zowel een werkelijke fysieke grootheid worden bedoeld die tijdelijk afzonderlijk van de fysieke context wordt beschouwd, als een abstracte hoeveelheid die geen analogen heeft in de echte wereld. Het concept van een variabele is ontstaan in de XVII eeuw. aanvankelijk beïnvloed door de eisen van de natuurwetenschap, die de studie van beweging, processen en niet alleen staten benadrukte. Dit concept vereist voor de expressie van nieuwe vormen. Zulke nieuwe vormen waren de letterlijke algebra en analytische meetkunde van René Descartes. Voor de eerste keer werd het rechthoekige coördinatenstelsel en de notatie x, y geïntroduceerd door Rene Descartes in zijn werk “Discourse on the Method” in 1637. Pierre Fermat droeg ook bij aan de ontwikkeling van de coördinatenmethode, maar zijn werken werden voor het eerst gepubliceerd na zijn dood. Descartes en Fermat gebruikten de coördinatenmethode alleen in het vliegtuig. De coördinaatmethode voor driedimensionale ruimte werd voor het eerst gebruikt door Leonard Euler in de 18e eeuw.
Vector. O. Koshi (1853).
Vanaf het begin wordt de vector begrepen als een object met een magnitude, richting en (optioneel) een toepassingspunt. De eerste beginselen van vectorrekening verschenen samen met het geometrische model van complexe getallen in Gauss (1831). Ontwikkelde vectorbewerkingen werden gepubliceerd door Hamilton als onderdeel van hun quaternionrekening (de vector werd gevormd door de imaginaire componenten van het quaternion). Hamilton stelde de term vector voor (van het Latijnse woord vector , drager ) en beschreef enkele vectoranalyses. Dit formalisme gebruikte Maxwell in zijn geschriften over elektromagnetisme, waarbij de aandacht van wetenschappers werd gevestigd op een nieuwe calculus. Al snel kwamen de Gibbs Elements of Vector Analysis (1880s) uit en toen gaf Heaviside (1903) een moderne kijk op vectoranalyse. Het vectorbord zelf werd in 1853 geïntroduceerd door de Franse wiskundige Augustin Louis Cauchy.
Optellen, aftrekken. J. Widman (1489).
De plus- en mintekens zijn blijkbaar bedacht in de Duitse wiskundige school van ‘cossists’ (dat wil zeggen, algebraisten). Ze worden gebruikt in het leerboek van Jan (Johannes) Widman, A Fast and Pleasant Account for All Merchants, gepubliceerd in 1489. Tot die tijd werd toevoeging aangeduid met de letter p (van Latijn plus “meer”) of het Latijnse woord et (vak “en”), en aftrekking – per brief m (van het Latijn minus “minder, minder”). Met Widman vervangt het plus-symbool niet alleen de toevoeging, maar ook de unie “en”. De oorsprong van deze symbolen is onduidelijk, maar hoogstwaarschijnlijk werden ze eerder in de handel gebruikt als tekenen van winst en verlies. Beide symbolen werden al snel algemeen in Europa – met uitzondering van Italië, dat de oude notatie ongeveer een eeuw lang gebruikte.
Vermenigvuldiging. U.Outred (1631), G. Leibniz (1698).
Het teken van vermenigvuldiging in de vorm van een schuin kruis werd in 1631 geïntroduceerd door de Engelsman William Outred. Vóór hem werd de letter M het vaakst gebruikt, hoewel er andere aanduidingen werden voorgesteld: het symbool van een rechthoek (Franse wiskundige Erigon, 1634), een sterretje (Zwitserse wiskundige Johann Ran, 1659). Later verving Gottfried Wilhelm Leibniz het kruis door een punt (het einde van de 17e eeuw), om het niet te verwarren met de letter x ; voor hem werd zo’n symboliek gevonden in de Duitse astronoom en wiskundige Regiomontan (XV eeuw) en de Engelse wetenschapper Thomas Heriot (1560-1621).
Division. I.Ran (1659), G. Leibniz (1684).
William Outred gebruikt de voorwaartse schuine streep als het deelstreepje. Gotfried Leibniz werd de colonafdeling. Vóór hen werd de letter D ook vaak gebruikt. Beginnend met Fibonacci, werd ook de horizontale slash-functie gebruikt, die werd gebruikt door Heron, Diophantus en Arabische geschriften. In Engeland en de Verenigde Staten kwam het ÷ -symbool (Obelus), dat in 1659 door Johann Ran (mogelijk met de medewerking van John Pell) werd voorgesteld, op grote schaal voor. Een poging van het Amerikaanse Nationale Comité voor Wiskundige Normen ( Nationaal Comité voor Wiskundige Vereisten ) om de obelus te verwijderen van de praktijk (1923) was onsuccesvol.
Procent. M. de la Port (1685).
Een honderdste deel van het geheel, genomen per eenheid. Het woord “procent” komt van het Latijnse “pro centum”, wat in vertaling “in honderd” betekent. In 1685 werd in Parijs het boek “Gids voor commercieel rekenen” van Mathieu de la Porta gepubliceerd. Op de ene plaats was het een kwestie van percentages, die toen “cto” werden genoemd (afgekort van cento). De compositor heeft dit “cto” echter voor een fractie gemaakt en “%” afgedrukt. Dus vanwege een typfout kwam dit teken in gebruik.
Degree. R. Descartes (1637), I. Newton (1676).
Modern opname exponent van Rene Descartes geïntroduceerd in zijn « updates » (1637), echter, voor de natuurlijke krachten van een geweldige prestatie 2. Pas later, Isaac Newton uitgebreid deze vorm van het schrijven op de negatieve en fractionele exponenten (1676) , de interpretatie van die was al een Vlaamse wiskundige en ingenieur Simon Stevin, Engels wiskundige John Wallis en de Franse wiskundige Albert Girard voorgesteld.
Roots. C. Rudolph (1525), R. Descartes (1637), A. Girard (1629).
De rekenkundige wortel van de n -de graad van het reële getal a ≥0, is een niet-negatief getal n -de graad waarvan a . De rekenkundige wortel van de tweede graad wordt de vierkantswortel genoemd en kan worden geschreven zonder de graad op te geven: √. De rekenkundige wortel van de 3e graad heet de kubische wortel. Middeleeuwse wiskunde (bijvoorbeeld Cardano) duidde de vierkantswortel aan met het symbool R x (van het Latijnse Radix , root). De moderne benaming werd voor het eerst gebruikt door de Duitse wiskundige Christoph Rudolph, van de Cossist-school, in 1525. Dit symbool is afkomstig van de gestileerde eerste letter van hetzelfde woord radix . De regel boven de radicale uitdrukking was aanvankelijk afwezig; Descartes (1637) introduceerde het later voor een ander doel (in plaats van haakjes), en dit kenmerk fuseerde al snel met het teken van de wortel. De kubische wortel in de zestiende eeuw werd als volgt aangeduid: R x .u.cu (van het Latijn. Radix universalis cubica ). Albert Girard (1629) begon de notatie te gebruiken van een wortel van willekeurige graad die ons bekend voorkomt. Dit formaat is opgelost dankzij Isaac Newton en Gottfried Leibniz.
Logaritme, decimale logaritme, natuurlijke logaritme. I. Kepler (1624), B. Cavalieri (1632), A. Princeheim (1893).
De term “logaritme” is van de Schotse wiskundige John Peper ( “Beschrijving van de verbijsterende tabel van logaritmen”, 1614); het ontstond uit de combinatie van de Griekse woorden λογος (woord, relatie) en αριθμος (nummer). De logaritme van J. Napier is een hulpnummer voor het meten van de verhouding van twee getallen. De moderne definitie van logaritme werd voor het eerst gegeven door de Engelse wiskundige William Gardiner (1742). Per definitie is de logaritme van het getal b op basis van a ( a ≠ 1, a> 0 ) de exponent van m , waarnaar het nummer a (dat de basis van de logaritme wordt genoemd) moet worden verhoogd om b te krijgen. Aangegeven door log a b. Dus, m = log a b, als a m = b.
De eerste tabellen met decimale logaritmen werden in 1617 gepubliceerd door Oxford wiskunde professor Henry Briggs. Daarom worden overzeese decimale logaritmen vaak brig genoemd. De term “natuurlijke logaritme” werd geïntroduceerd door Pietro Mengoli (1659) en Nicholas Mercator (1668), hoewel de Londense wiskundeleraar John Spydell in 1619 een tabel met natuurlijke logaritmes compileerde.
Tot het einde van de negentiende eeuw was er geen algemeen aanvaarde logaritme, de basis van a was links en boven het symbool log en erboven aangegeven. Uiteindelijk kwamen wiskundigen tot de conclusie dat de meest geschikte plaats voor de basis onder de regel ligt, na het log -symbool. Het logaritmische teken – het resultaat van de afkorting van het woord “logaritme” – komt in verschillende vormen voor bijna gelijktijdig met het verschijnen van de eerste tabellen met logaritmen, bijvoorbeeld Log – in I. Kepler (1624) en G. Briggs (1631), log door B. Cavalieri (1632). De aanduiding ln voor de natuurlijke logaritme werd geïntroduceerd door de Duitse wiskundige Alfred Pringsheim (1893).
Sinus, cosinus, tangens, cotangens. U.Outred (midden van de XVII eeuw), I. Bernoulli (XVIII eeuw), L. Euler (1748, 1753).
Afkortingen voor sinus en cosinus werden geïntroduceerd door William Outred in het midden van de 17e eeuw. De afkortingen voor tangens en cotangens: tg, ctg werden in de 18e eeuw geïntroduceerd door Johann Bernoulli, ze werden wijdverspreid in Duitsland en Rusland. In andere landen worden de namen van deze functies tan, cot gebruikt die Albert Girard eerder aan het begin van de XVIIe eeuw had voorgesteld. Leonard Euler (1748, 1753) bracht de theorie van trigonometrische functies in moderne vorm en we zijn hem verplicht deze symboliek te consolideren. De term “trigonometrische functies” werd geïntroduceerd door de Duitse wiskundige en natuurkundige Georg Simon Klugel in 1770.
Indiase wiskundigen noemden oorspronkelijk de sinuslijn “archa jiva” (“semi-tool”, dat wil zeggen, de helft van het akkoord), vervolgens werd het woord “arch” weggelaten en werd de sinustellijn eenvoudigweg genoemd Jiva . Arabische vertalers vertaalden het woord “jiva” niet met het Arabische woord “vatar” , wat een bowstring en een akkoord betekent, maar heeft het in Arabische letters getranscribeerd en begon de sinuslijn te typen “jiba” . Omdat korte klinkers niet in het Arabisch zijn aangegeven, en de lange “en” in het woord “jiba” ook wordt aangeduid als een semi-vocale “d”, begonnen de Arabieren de naam van de sinuslijn uit te spreken “jayb” , wat letterlijk “hol”, “sinus” betekent. Bij het vertalen van Arabische geschriften in het Latijn vertaalden Europese vertalers het woord jib met het Latijnse woord sinus , wat dezelfde betekenis heeft. De term “raaklijn” (van het Latijn. tangens – verwijzend naar) werd geïntroduceerd door de Deense wiskundige Thomas Finke in zijn boek “Round Geometry” (1583).
Boogsinus. K.Sherfer (1772), J.Lagrange (1772).
Inverse trigonometrische functies zijn wiskundige functies die tegengesteld zijn aan trigonometrische functies. De naam van de inverse trigonometrische functie wordt afgeleid van de naam van de overeenkomstige trigonometrische functie door het voorvoegsel “arc” toe te voegen (uit het Latijn. arc is een boog). De inverse trigonometrische functies omvatten gewoonlijk zes functies: arcsine (arcsin), arcosinus (arccos), arctangens (arctg), arc cotangens (arcctg), arcsekans (arcsec) en arc-doorsnede (arccosec). Voor het eerst werden speciale karakters voor inverse trigonometrische functies gebruikt door Daniel Bernoulli (1729, 1736). De manier om inverse trigonometrische functies aan te duiden met het arc voorvoegsel (van het Latijnse arcus arc) verscheen in de Oostenrijkse wiskundige Karl Scherfer en verschanst dankzij de Franse wiskunde, astronoom en monteur Joseph Louis Lagrange. Het was de bedoeling dat, bijvoorbeeld, een gewone sinus ons in staat stelt om een akkoord langs een cirkelboog te vinden, en de inverse functie lost het tegenovergestelde probleem op. Tot het einde van de 19e eeuw boden de Engelse en Duitse wiskundige scholen andere benamingen: sin -1 en 1 / sin, maar ze werden niet veel gebruikt.
Hyperbolische sinus, hyperbolische cosinus. V. Riccati (1757).
Historici ontdekten voor het eerst de verschijning van hyperbolische functies in de geschriften van de Engelse wiskundige Abraham de Moivre (1707, 1722). De moderne definitie en hun gedetailleerd onderzoek werd uitgevoerd door de Italiaanse Vincenzo Riccati in 1757 in zijn werk Opusculorum, hij stelde ook hun benamingen voor: sh , ch . Riccati ging uit van de overweging van een enkele hyperbool. Onafhankelijke ontdekking en verdere studie van de eigenschappen van hyperbolische functies werd uitgevoerd door de Duitse wiskundige, fysicus en filosoof Johann Lambert (1768), die het brede parallellisme vaststelde van de formules van gewone en hyperbolische trigonometrie. NI Lobachevsky gebruikte vervolgens dit parallellisme om de consistentie van niet-euclidische meetkunde te bewijzen, waarin gewone trigonometrie wordt vervangen door hyperbolische.
Net zoals trigonometrische sinus en cosinus coördinaten zijn van een punt op een coördinatencirkel, zijn hyperbolische sinus en cosinus coördinaten van een punt op een hyperbool. Hyperbolische functies worden uitgedrukt in termen van exponentieel en nauw gerelateerd aan trigonometrische functies: sh (x) = 0,5 (e x -e -x ) , ch (x) = 0,5 (e x + e -x ). Analoog aan trigonometrische functies worden de hyperbolische tangens en cotangens gedefinieerd als respectievelijk de relatie van hyperbolische sinus en cosinus, cosinus en sinus.
Differential. G. Leibniz (1675, in druk 1684).
Het belangrijkste, lineaire deel van de incrementfunctie. Als de functie y = f (x) van één variabele x een afgeleide heeft met x = x 0 , en de toename Δy = f (x 0 +? x) -f (x 0 ) functie f (x) kan worden weergegeven als Δy = f ‘(x 0 ) Δx + R (Δx ) , waar de term R oneindig klein is in vergelijking met Δx . De eerste term dy = f ‘(x 0 ) Δx in deze uitbreiding wordt het verschil van de functie f (x) op het punt x < sub> 0 . In de werken van Gottfried Leibniz, Jacob en Johann Bernoulli werd het woord “differentia” gebruikt in de betekenis van “toename”, I. Bernoulli wees het aan met Δ. G. Leibniz (1675, in druk 1684) gebruikte voor “oneindig klein verschil” de aanduiding d – de eerste letter van het woord “differentieel” , gevormd door hem van “differentia “.
Onbepaalde integraal. G. Leibniz (1675, in druk 1686).
Het woord “integraal” werd voor het eerst gebruikt in druk door Jacob Bernoulli (1690). De term kan worden afgeleid van het Latijnse gehele getal – geheel. Volgens een andere veronderstelling was de basis het Latijnse woord integro – herstellen, herstellen. Het ∫ -teken wordt gebruikt om de integraal in de wiskunde aan te duiden en is een gestileerde afbeelding van de eerste letter van het Latijnse woord summa – sum. Het werd voor het eerst gebruikt door de Duitse wiskundige Gottfried Leibnitz, de grondlegger van differentiaal en integraalrekening in de late 17e eeuw. Een van de oprichters van differentiaal en integraalrekening, Isaac Newton, stelde in zijn werken geen alternatieve symboliek van de integraal voor, hoewel hij verschillende opties uitprobeerde: een verticale lijn over een functie of een vierkant symbool dat voor een functie staat of deze begrenst. De onbepaalde integraal voor de functie y = f (x) is de verzameling van alle antimensen van deze functie.
epaalde integraal. J. Fourier (1819-1822).
Bepaalde integraal van de functie f (x) de ondergrens a en een bovengrens b kan worden gedefinieerd als het verschil F (b) – F ( a) = a ∫ b f (x) dx , waarbij F (x) – enkele primitieve functie f (x) . Bepaalde integraal a ∫ b f (x) dx numeriek gelijk aan de oppervlakte van de figuur begrensd door de abscis, rechte x = a en x = b en de grafiek van de functie f (x) . Het maken van bepaalde integraal zoals wij die kennen is een Franse wiskundige en natuurkundige Joseph Fourier in het begin van de negentiende eeuw aangeboden.
Derivaat. G. Leibniz (1675), J. Lagrange (1770, 1779).
Afgeleide – het basisconcept van differentiaalrekening, dat de veranderingssnelheid van de functie f (x) kenmerkt door een verandering in het argument x . Het wordt gedefinieerd als de limiet van de verhouding van de toename van een functie tot de toename van het argument wanneer de toename van het argument neigt naar nul als een dergelijke limiet bestaat. Een functie die op een bepaald punt een eindige afgeleide heeft, wordt op een bepaald punt differentieerbaar genoemd. Het proces van het berekenen van het derivaat wordt differentiatie genoemd. Het omgekeerde proces is integratie. In de klassieke differentiaalrekening wordt het derivaat meestal gedefinieerd door de concepten van de theorie van limieten, maar historisch gezien verscheen de theorie van limieten na de differentiaalrekening.
De term ‘afgeleide’ werd geïntroduceerd door Joseph Louis Lagrange in 1797, de afgeleide aanduidingen met een beroerte – hij (1770, 1779) en dy / dx – Gottfried Leibniz in 1675. De manier om de tijdafgeleide van het punt boven de letter aan te duiden, komt van Newton (1691).
Privé-derivaat. A. Legendre (1786), J.Lagrange (1797, 1801).
Voor functies van verschillende variabelen worden gedeeltelijke derivaten bepaald, derivaten door een van de argumenten, berekend op basis van de aanname dat de resterende argumenten constant zijn. De benamingen ∂f / ∂x , ∂z / ∂y zijn in 1786 geïntroduceerd door de Franse wiskundige Adrien Marie Legendre; f x ‘ , z x ‘ – Joseph Louis Lagrange (1797, 1801) ); ∂ 2 z / ∂x 2 , ∂ 2 z / ∂x∂y – gedeeltelijke afgeleiden van de tweede orde – Duitse wiskundige Carl Gustav Jacob Jacobi (1837).
Verschilverhoging. I. Bernoulli (eind 17e eeuw – eerste helft 18e eeuw), L. Euler (1755).
De letter Δ increment-aanduiding werd voor het eerst gebruikt door de Zwitserse wiskundige Johann Bernoulli. Het deltasymbool trad in de algemene praktijk na het werk van Leonard Euler in 1755.
Sum. L. Euler (1755).
Som is het resultaat van de toevoeging van hoeveelheden (getallen, functies, vectoren, matrices, enz.). Om de som n van de getallen a 1 , a 2 , …, a n aan te duiden, wordt de Griekse letter sigma Σ gebruikt: a 1 + a 2 + … + a n = Σ n i = 1 a i = Σ n 1 a i . Het Σ-teken voor de som werd geïntroduceerd door Leonard Euler in 1755.
Het product. K.Gauss (1812).
Het product is het resultaat van vermenigvuldiging. Om het product van n-nummers een 1 , een 2 , …, een n aan te geven, wordt de Griekse letter “pi” toepassen gebruikt: een 1 · a 2 · … · a n = Π n i = 1 a i = Π n 1 a i . Bijvoorbeeld, 1 · 3 · 5 · … · 97 · 99 =? 50 1 (2i – 1). Het Π-teken voor het werk werd in 1812 geïntroduceerd door de Duitse wiskundige Karl Gauss.
Factorial. K.Crump (1808).
De faculteit van het getal n (aangeduid met n !, Uitgesproken “en faculteit”) is het product van alle natuurlijke getallen tot en met n: n! = 1 · 2 · 3 · … · n. Bijvoorbeeld 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120. Per definitie wordt 0 aangenomen! = 1. Factorial wordt alleen gedefinieerd voor niet-negatieve gehele getallen. De faculteit van n is gelijk aan het aantal permutaties van n elementen. De term “faculteit” werd geïntroduceerd door de Franse wiskundige en politicus Louis Francois Antoine Arbogast (1800), benaming n! – Franse wiskundige Christian Crump (1808).
Modulus, absolute waarde. K. Weierstrass (1841).
De absolute waarde van een reëel getal x is een niet-negatief getal, dat als volgt wordt gedefinieerd: | x | = x voor x ≥ 0, en | x | = -Х wanneer x ≤ 0. Bijvoorbeeld | 7 | = 7, | – 0,23 | = – (- 0,23) = 0,23. De modulus van een complex getal z = a + ib is een reëel getal gelijk aan √ (a 2 + b 2 ).
Men denkt dat de term “module” de Engelse wiskundige en filosoof Newton’s student Roger Coats wilde gebruiken. Gottfried Leibniz gebruikte ook deze functie, die hij “module” noemde en aanduidde: mol x. De algemeen geaccepteerde aanduiding van absolute waarde werd in 1841 geïntroduceerd door de Duitse wiskundige Karl Weierstrass. Voor complexe getallen werd dit concept geïntroduceerd door de Franse wiskundigen Augustin Cauchy en Jean-Robert Argan aan het begin van de 19e eeuw. In 1903 gebruikte de Oostenrijkse wetenschapper Konrad Lorenz dezelfde symboliek voor de lengte van de vector.
Norma. E. Schmidt (1908).
Een norm is een functioneel gedefinieerd op een vectorruimte en generaliseert het concept van de lengte van een vector of de modulus van een getal. Het teken “normen” (van het Latijnse woord “norma” – “regel”, “monster”) werd in 1908 geïntroduceerd door de Duitse wiskundige Erhard Schmidt.
Limit. S.Luillier (1786), William Hamilton (1853), veel wiskundigen (tot het begin van de twintigste eeuw)
De limiet is een van de basisbegrippen van wiskundige analyse, wat betekent dat een bepaalde variabele hoeveelheid in het proces van de verandering in beschouwing onbegrensd een bepaalde constante waarde benadert. Het concept van de limiet op een intuïtief niveau werd in de tweede helft van de zeventiende eeuw gebruikt door Isaac Newton, evenals achttiende-eeuwse wiskundigen, zoals Leonard Euler en Joseph Louis Lagrange. De eerste strikte definities van de limiet van de reeks werden gegeven door Bernard Bolzano in 1816 en Augustin Cauchy in 1821. Het limietsymbool (de eerste 3 letters van het Latijnse woord limes – border) verscheen in 1787 bij de Zwitserse wiskundige Simon Antoine Jean Luillet, maar het gebruik ervan heeft nog niet op het moderne geleken. De lim uitdrukking in een meer bekend ontwerp werd voor het eerst gebruikt door de Ierse wiskundige William Hamilton in 1853. Weierstrass introduceerde een notatie dicht bij modern, maar in plaats van de gebruikelijke pijl gebruikten we een gelijkteken. De pijl verscheen aan het begin van de 20e eeuw met verschillende wiskundigen tegelijk – bijvoorbeeld de Engelse wiskundige Godfried Hardy in 1908.
Zeta-functie, Zeta-functie van Riemann. B.Riman (1857).
De analytische functie van de complexe variabele s = σ + it, met σ & gt; 1 gedefinieerd absoluut en uniform convergeren in de buurt van Dirichlet:
ζ(s) = 1–s + 2–s + 3–s + … .
Met σ & gt; 1 geldige weergave in de vorm van werken van Euler:
ζ(s) = Πp(1–p–s)–s,
waar het product wordt overgenomen, allemaal eenvoudige p. Zeta-functie speelt een grote rol in de getaltheorie. Als een functie van een reële variabele, werd de zetafunctie in 1737 (gepubliceerd in 1744) geïntroduceerd door L. Euler, die zijn ontbinding in een werk aanduidde. Vervolgens werd deze functie beschouwd door de Duitse wiskundige L. Dirichlet en, vooral met succes. De meest diepgaande eigenschappen van de zetafunctie werden later echter ontdekt, na het werk van de Duitse wiskundige Georg Friedrich Bernhard Riemann (1859), waar de zetafunctie werd beschouwd als een functie van een complexe variabele; hij introduceerde ook de naam “zeta-functie” en de benaming ζ (en) in 1857.
Gamma-functie, Euler’s Γ-functie. A.Legendre (1814).
Gamma-functie is een wiskundige functie die het concept van faculteiten uitbreidt tot het veld van complexe getallen. Meestal aangegeven met Γ (z). De G-functie werd voor het eerst geïntroduceerd door Leonard Euler in 1729; het wordt bepaald door de formule:
Γ(z) = limn→∞n!·nz/z(z+1)…(z+n).
Een groot aantal integralen, oneindige producten en sommen van series wordt uitgedrukt via de G-functie. Op grote schaal gebruikt in de analytische getaltheorie. De naam “Gamma-functie” en de notatie Γ (z) werd voorgesteld door de Franse wiskundige Adrienne Marie Legendre in 1814.
Beta-functie, B-functie, Euler’s B-functie. Jean Binet (1839).
De functie van twee variabelen, p en q, gedefinieerd als p> 0, q> 0 door de vergelijking:
В(p, q) = 0∫1хр–1(1–х)q–1dx.
De bèta-functie kan worden uitgedrukt in termen van de Γ-functie: B (p, q) = Γ (p) Γ (q) / Γ (p + q). Net zoals een gammafunctie voor gehele getallen een generalisatie van faculteit is, is een betafunctie in zekere zin een generalisatie van binomiale coëfficiënten.
Met behulp van bètafuncties worden veel eigenschappen van elementaire deeltjes die bij sterke interactie zijn betrokken beschreven. Dit kenmerk werd opgemerkt door de Italiaanse theoretisch natuurkundige Gabriele Veneziano in 1968. Dit markeerde het begin van de snaartheorie.
De naam “beta-functie” en de benaming B (p, q) werden in 1839 geïntroduceerd door de Franse wiskundige, monteur en astronoom Jacques Philippe Marie Binet.
Laplace-operator, Laplacian. R. Murphy (1833).
Lineaire differentiaaloperator Δ, die φ (x 1 , x 2 , …, x n ) van n variabelen x 1 , x 2 , …, x n associeert de functie:
Δφ = ∂2φ/∂х12 + ∂2φ/∂х22 + … + ∂2φ/∂хn2.
In het bijzonder, voor de functie φ (x) van één variabele, valt de Laplace-operator samen met de operator van de tweede afgeleide: φφ = d 2 φ / dx 2 . De vergelijking Δφ = 0 wordt meestal de Laplace-vergelijking genoemd; vandaar de naam “Laplace-operator” of “Laplacian”. De benaming Δ werd in 1833 geïntroduceerd door de Engelse natuurkundige en wiskundige Robert Murphy.
Hamilton-operator, nabla-operator, Hamiltoniaan. O. Heaviside (1892).
Vector differentieel operator van het formulier
∇ = ∂/∂x · i + ∂/∂y · j + ∂/∂z · k,
waarbij i , j en k coördinaatassen zijn. Via de operator worden de basisbewerkingen van vectoranalyse, evenals de Laplace-operator, op een natuurlijke manier uitgedrukt.
In 1853 introduceerde de Ierse wiskundige William Rowan Hamilton deze operator en bedacht voor hem het symbool ∇ in de vorm van een omgekeerde Griekse letter Δ (delta). In Hamilton, het punt van het symbool naar links, en later in de werken van de Schotse wiskundige en natuurkundige Peter Guthrie Tate, kreeg het personage een moderne uitstraling. Hamilton noemde dit symbool het woord “atled” (het woord “delta”, lees andersom). Later begonnen Engelse wetenschappers, waaronder Oliver Heaviside, dit symbool “nabla” te noemen, naar de naam van de letter ∇ in het Fenicische alfabet, waar het voorkomt. De oorsprong van de letter is gekoppeld aan een muziekinstrument van het harp-type, ναβλα (nabla) in het oud-Grieks betekent “harp”. De operator ontving de naam van de Hamilton-operator of de operator nabla.
Functie. I. Bernoulli (1718), L. Euler (1734).
Wiskundig concept, dat de relatie tussen elementen van sets weerspiegelt. Er kan worden gezegd dat een functie een “wet” is, een “regel” volgens welke aan elk element van één set (het definitiedomein) een bepaald element van een andere reeks (het waardedomein) wordt toegewezen. Het wiskundige concept van een functie drukt een intuïtief idee uit van hoe één hoeveelheid de waarde van een andere grootheid volledig bepaalt. Vaak verwijst de term “functie” naar een numerieke functie; dat wil zeggen, een functie die sommige getallen op één lijn brengt met anderen. Lange tijd vroegen wiskundigen argumenten zonder haakjes, bijvoorbeeld so – φх. Voor het eerst werd een dergelijke benaming gebruikt door de Zwitserse wiskundige Johann Bernoulli in 1718. De haakjes werden alleen gebruikt in het geval van veel argumenten en ook als het argument een complexe uitdrukking was. Echo’s uit die tijd komen vaak voor en registreren nu sin x, lg x en anderen. Maar geleidelijk is het gebruik van haakjes, f (x), een algemene regel geworden. En de belangrijkste verdienste hierin is van Leonard Euler.
Gelijkheid. R. Record (1557).
Het gelijkteken werd voorgesteld door de Welshe arts en wiskundige Robert Record in 1557; het merkteken van het symbool was veel langer dan het huidige symbool, omdat het het beeld imiteerde van twee parallelle segmenten. De auteur legde uit dat er niks ter wereld meer gelijk is dan twee parallelle segmenten van dezelfde lengte. Daarvoor werd in de oude en middeleeuwse wiskunde gelijkheid verbaal weergegeven (bijvoorbeeld est egale ). René Descartes begon æ (uit Lat. aequalis ) in de 17e eeuw te gebruiken en hij gebruikte het moderne gelijkteken om aan te geven dat de coëfficiënt negatief kan zijn. Francois Viett staat voor aftrekken. Het symbool van de Record werd niet veel gebruikt. De verspreiding van het Record-symbool werd belemmerd door het feit dat van oudsher hetzelfde symbool werd gebruikt om parallelle lijnen aan te duiden; Uiteindelijk werd besloten om het symbool van parallellisme verticaal te maken. In continentaal Europa werd het “=” – teken door Gottfried Leibnitz pas aan het begin van de XVII – XVIII eeuw ingevoerd, dat wil zeggen meer dan 100 jaar na de dood van Robert Record, die het voor het eerst gebruikte.
Ongeveer gelijk, ongeveer gelijk. A. Günter (1882).
Het teken “≈” werd geïntroduceerd als een symbool van de relatie “ongeveer gelijk” door de Duitse wiskundige en natuurkundige Adam Wilhelm Sigmund Gunther in 1882.
Meer, minder. T. Garriot (1631).
Deze twee tekens werden geïntroduceerd door de Engelse astronoom, wiskundige, etnograaf en vertaler Thomas Garriot in 1631, voordat ze de woorden “meer” en “minder” gebruikten.
Vergelijkbaarheid. C. Gauss (1801).
Vergelijking – de verhouding tussen twee gehele getallen n en m, wat betekent dat het verschil n – m van deze getallen wordt gedeeld door het gegeven gehele getal a, de vergelijkingsmodule; geschreven n Ik schrijf (mod a) en lees “de getallen n en m zijn vergelijkbare modulo a”. Bijvoorbeeld 3≡11 (mod 4), omdat 3-11 wordt gedeeld door 4; de nummers 3 en 11 zijn vergelijkbare modulo 4. Vergelijkingen hebben veel eigenschappen die vergelijkbaar zijn met die van gelijkheden. Dus, de term in één deel van de vergelijking kan worden overgedragen met het tegenovergestelde teken naar een ander deel, en vergelijkingen met dezelfde module kunnen worden toegevoegd, afgetrokken, vermenigvuldigd, beide delen van de vergelijking kunnen worden vermenigvuldigd met hetzelfde aantal, enz. Bijvoorbeeld
3≡9 + 2 (mod 4) en 3-2≡9 (mod 4)
– tegelijkertijd een echte vergelijking. En uit een paar echte vergelijkingen volgt 3≡11 (mod 4) en 1≡5 (mod 4) de juistheid van het volgende:
3+1≡11+5(mod 4)
3–1≡11–5(mod 4)
3·1≡11·5(mod 4)
32≡112(mod 4)
3·23≡11·23(mod 4)
Getaltheorie beschouwt methoden voor het oplossen van verschillende vergelijkingen, d.w.z. methoden voor het vinden van gehele getallen die voldoen aan vergelijkingen van welke aard dan ook. Vergelijkingen van de module werden voor het eerst gebruikt door de Duitse wiskundige Karl Gauss in zijn boek Arithmetic Studies in 1801. Hij stelde ook de symboliek voor die in wiskunde wordt gevestigd voor vergelijkingen.
Identiteit. B.Riman (1857).
Identiteit – de gelijkheid van twee analytische uitdrukkingen, geldig voor alle geldige waarden van de samenstellende letters. De gelijkheid a + b = b + a geldt voor alle numerieke waarden van a en b en is daarom een identiteit. Sinds 1857 wordt het teken “≡” (lees “identiek gelijk”) gebruikt om identiteiten vast te leggen, de auteur van dit gebruik is de Duitse wiskundige Georg Friedrich Bernhard Riemann. Je kunt een + b ≡ b + a schrijven.
Loodrecht. P. Erigon (1634).
Loodrechtheid is de onderlinge rangschikking van twee rechte lijnen, vlakken of een rechte lijn en een vlak, waarbij de aangegeven figuren een rechte hoek vormen. Het teken ⊥ voor haaksheid werd in 1634 geïntroduceerd door de Franse wiskundige en astronoom Pierre Erigon. Het concept van haaksheid heeft een aantal generalisaties, maar in de regel gaan ze allemaal vergezeld van het teken.
Parallelism. U.Outred (postume editie van 1677).
Parallelisme – de relatie tussen sommige geometrische vormen; bijvoorbeeld, rechtdoor. Bepaald anders afhankelijk van verschillende geometrieën; bijvoorbeeld in Euclidische geometrie en Lobachevsky-geometrie. Het teken van parallellisme is bekend uit de oudheid, het werd gebruikt door Heron en Papp van Alexandrië. Aanvankelijk was het symbool vergelijkbaar met het huidige gelijkteken (alleen meer uitgebreid), maar met het uiterlijk van de laatste, om verwarring te voorkomen, werd het symbool verticaal gedraaid ||. In deze vorm verscheen hij voor het eerst in de postume uitgave van de werken van de Engelse wiskundige William Outred in 1677.
Kruispunt, vakbond. J.Peano (1888).
De kruising van sets is de set waartoe alleen die elementen behoren die bij alle gegeven sets horen. Het samenvoegen van sets is een set met alle elementen van de originele sets. Kruispunt en unie worden ook bewerkingen op sets genoemd die sommige sets associëren met nieuwe sets door de bovenstaande regels. Aangeduid door respectievelijk ∩ en ∪. Bijvoorbeeld, als
A={♠ ♣ ♥} e В={♣ ♥ ♦},
de
A∩B={♣ ♥}
A∪B={♠ ♣ ♥ ♦}.
De auteur van de ∩ en ∪-tekens is de Italiaanse wiskundige Giuseppe Peano. Ze werden voor het eerst gebruikt in 1888.
Bevat, bevat. E. Schroeder (1890).
Als A en B – en twee sets A geen elementen die niet behoren bij, dan zeggen we dat A in B. Voeg A⊂V of V⊃A (B omvat A). Bijvoorbeeld
{♠}⊂{♠ ♣}⊂{♠ ♣ ♥ ♦}
{♠ ♣ ♥ ♦}⊃{♥ ♦}⊃{♦}
De karakters “bevatte” en “bevatte” verscheen in 1890 in de Duitse wiskundelogica Ernst Schröder.
Affiliatie. J.Peano (1895).
Als a een element is van de set A, schrijf dan a∈A en lees “a behoort tot A”. Als a geen element van set A is, schrijf a∉A en lees “a behoort niet tot A”. Aanvankelijk werd de relatie “bevat” en “behoort” (“is een element”) niet onderscheiden, maar na verloop van tijd vereisten deze concepten een onderscheid. Het teken van erbij horen ∈ werd voor het eerst gebruikt door de Italiaanse wiskundige Giuseppe Peano in 1895. Het symbool ∈ komt van de eerste letter van het Griekse woord εστι – te zijn.
De kwantificeerder van universaliteit, de kwantifier van het bestaan. G. Henzen (1935), C. Pierce (1885).
Een kwantor is een algemene naam voor logische bewerkingen die de waarheidsregio van een predikaat (wiskundige verklaring) aangeven. Filosofen hebben lang aandacht besteed aan logische operaties die het ware domein van het predikaat beperkten, maar ze niet in een afzonderlijke klasse van operaties hebben ingedeeld. Hoewel quantum-logische constructies op grote schaal worden gebruikt in zowel wetenschappelijke als alledaagse spraak, vond hun formalisering pas in 1879 plaats, in het boek van de Duitse logica, de wiskundige en filosoof Friedrich Ludwig Gottlob Frege, “The Calculus of Concepts”. Frege’s aanduidingen zagen eruit als logge grafische ontwerpen en werden niet geaccepteerd. Vervolgens werden veel meer succesvolle symbolen voorgesteld, maar de notatie ∃ voor de kwantificeerder van het bestaan (luidt “bestaat”, “bestaat”) voorgesteld door de Amerikaanse filosoof, logicus en wiskundige Charles Pierce in 1885, en ∀ voor de kwantificeerder van universaliteit (lees “any”) , “elk”, “iedereen”), gevormd door de Duitse wiskundige en logicus Gerhard Karl Erich Genzen in 1935, naar analogie met het symbool van de kwantifier of existence (omgekeerde eerste letters van de Engelse woorden Existence (existence) en Any (any)). Bijvoorbeeld de invoer
(∀ε>0) (∃δ>0) (∀x≠x0, |x–x0|<δ) (|f(x)–A|<ε)
luidt als volgt: “voor iedereen ε>0 er δ>0 zodanig dat voor alle x niet gelijk is aan x 0 en voldoet aan de ongelijkheid |x–x0|<δ, ongelijkheid houdt |f(x)–A|<ε”.
Lege set. N. Burbaki (1939).
Een set die geen enkel element bevat. Het teken van de lege set werd geïntroduceerd in de boeken van Nicolas Bourbaki in 1939. Bourbaki – collectief pseudoniem voor een groep Franse wiskundigen, opgericht in 1935. Een van de deelnemers aan de Bourbaki-groep was Andre Weil – de auteur van het symbool Ø.
Wat was nodig om te bewijzen. D. Knut (1978).
In de wiskunde wordt bewijs begrepen als een reeks redeneringen die is gebouwd op bepaalde regels, wat aantoont dat een bepaalde bewering waar is. Sinds de tijd van de Renaissance werd het einde van het bewijs door wiskundigen aangeduid met de afkorting “Q.E.D.”, van de Latijnse uitdrukking “Quod Erat Demonstrandum” – “Wat moest worden aangetoond.” Bij het maken van een computerlay-outsysteem 1978 in 1978 gebruikte de Amerikaanse professor in computerwetenschap Donald Edwin Knuth een symbool: een gevuld vierkant, het zogenaamde “Halmos-symbool”, naar de Amerikaanse wiskundige van Hongaarse oorsprong Paul Richard Halmos. Tegenwoordig wordt het einde van het bewijs meestal aangeduid als het Halmos-symbool. U kunt ook andere tekens gebruiken: een leeg vierkant, een rechthoekige driehoek, // (twee schuine strepen).